Gadens østlige ende stammer fra engang i 1600-tallet, mens den vestlige ende først er opført omkring 1740'erne.
Gaden blev i maj 1842 stærkt raseret af en brand, der opstod i Slippen 1 på hjørnet af von Ostensgade. En sindsforvirret kone her satte ild til sit stråtag, og med en kraftig øst-nordøstlig blæst spredte ilden sig og lagde 12 huse i aske, både i von Ostensgade og i Chr. Mølstedsgade, helt op til Vestgrønningen. Nogle beboere valgte at genopbygge på et af byen anvist areal bag ved skolen. Denne bebyggelse blev til gaden Nyby.
Gaden hed tidligere Gothersgade, men omkring 1930 ved en revision af byens gadenavne blev den omdøbt og opkaldt efter birkedommer ved Amager Birk, J. C. von Osten, der beklædte dette embede fra 1828 til 1860.
Amager Birks kontor lå dengang på Christianshavn i Ovengaden oven Vandet nr. 2. Dette ærefulde navneopkald må bero på, at han har skænket et orgel til Store Magleby kirke. For Dragørs vedkommende har han vist næppe udført noget fortjenstfuldt, men måske har gadenavneudvalget i sin tid syntes, at dette navn lød tilpas "hollandsk".